原函数是周期函数，它的导函数也一定是周期函数吗

是的，周期函数的导函数也是周期函数，并且周期与原函数相同。具体来说，如果函数 \\（ f（x） \\） 是一个周期函数，那么存在一个非零常数 \\（ T \\），使得对于所有 \\（ x \\） 在定义域内，都有 \\（ f（x + T） = f（x） \\）。如果 \\（ f（x） \\） 在其定义域内可导，那么其导数 \\（ f\'（x） \\） 也将是一个周期函数，并且周期也是 \\（ T \\）。

证明如下：

由于 \\（ f（x） \\） 是周期函数，我们有：

\\[ f\'（x） = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f（x + \\Delta x） - f（x）}{\\Delta x} \\]

对于 \\（ f\'（x + T） \\），我们同样有：

\\[ f\'（x + T） = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f（x + T + \\Delta x） - f（x + T）}{\\Delta x} \\]

由于 \\（ f \\） 是周期函数，我们可以将上式中的 \\（ f（x + T + \\Delta x） - f（x + T） \\） 替换为 \\（ f（x + \\Delta x） - f（x） \\），得到：

\\[ f\'（x + T） = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f（x + \\Delta x） - f（x）}{\\Delta x} = f\'（x） \\]

这表明 \\（ f\'（x） \\） 也是周期函数，并且周期与原函数 \\（ f（x） \\） 相同。

需要注意的是，这个结论在 \\（ f \\） 在其定义域内可导且连续的条件下成立。如果 \\（ f \\） 在某些点上不可导，则上述结论可能不成立。

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